魅惑のロジャーズ-ラマヌジャン恒等式

“ロジャーズ-ラマヌジャン恒等式に勝る美しい公式は見つけ難いだろう”
G. H. ハーディ

　ロジャーズが1894年に発見し，それを再発見したラマヌジャンを驚嘆させたロジャーズ-ラマヌジャン恒等式。それは，ある種の無限級数が無限積に等しいという，2つの恒等式である。一見したところ，そこには絶妙な対称性があるものの，その意味するところは捉えがたい。この恒等式をどのように解釈したらよいのだろうか？　この恒等式は孤立したものなのだろうか？　このような恒等式が自然に生じるような数学的，あるいは物理学的な文脈があるのだろうか？　そもそもどうやって証明すればよいのか？
　本書では，ロジャーズ-ラマヌジャン恒等式に関するこのような疑問について，整数の分割の理論，超幾何級数の理論あるいは組合せ論の観点から，豊富な具体例を用いつつ丁寧に解説される。さらに，頂点作用素代数，リー代数の表現論，統計力学，結び目理論との自然な結び付きについても言及される。
　本書の主要部分は，高度な数学的知識を要さずとも読むことができる。一方で，その意味合いが完全には明らかとなっていないロジャーズ-ラマヌジャン恒等式の研究を，さらに進展させる糸口となる書籍である。

［原著：An Invitation to the Rogers-Ramanujan Identities, CRC Press, 2017］

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■2022年10月号『数学セミナー』（評者：阿部紀行）