楕円曲線の数論

シルヴァーマンの楕円曲線の名著、待望の邦訳！

ジョセフ・H・シルヴァーマン（Joseph H. Silverman）は、楕円曲線に関連して、初級レベル相当のRational Points on Elliptic Curves（ジョン・テイト（John Tate）との共著）、中級レベル相当のThe Arithmetic of Elliptic Curves、上級レベル相当のAdvanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves という3冊の書籍を執筆した。このうち、1冊目と3冊目は『楕円曲線論入門』および『楕円曲線論概説』としてすでに和訳されており、現在は丸善出版より刊行されている。ところが2冊目のThe Arithmetic of Elliptic Curves は、1986年の初版以降、2008年に第2版が出版されてもなお和訳されずにいた。本書はその第2版の待望の邦訳であり、楕円曲線の数論的性質に関する標準的なテキストである。

まず、代数幾何学の基本事項を与えた後で、代数閉体上の楕円曲線の幾何学を調べる。次に、楕円曲線の性質を有限体上、局所体上、大域体（数体）上の順に調べていく。この過程で、楕円曲線の数論における基本的な定理「モーデル‐ヴェイユの定理」や「ジーゲルの定理」の証明がなされる。最後は、楕円曲線の理論の計算的側面として、暗号技術の領域で重要視されている問題を探求する。また、特筆すべき点として、ワイルズによる「フェルマーの最終定理」の証明、「佐藤‐テイト予想」の解決、「スピロ予想」と「ABC 予想」など、近年の研究内容も随所で取り上げられている。

初学者はもちろん、楕円曲線の数論に触れたことがある人の学びなおしにも適している。さらに、基本的な事実や近年の研究内容を確認する文献としても活用できるなど、読者の幅広い目的に対応可能な、大変重宝する書籍となっている。

［原著：The Arithmetic of Elliptic Curves, 2nd edition, Springer, 2009］