ビジュアル　微分幾何・微分形式

序
謝辞

第I幕　空間の本質

第1章　ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学
　1.1　ユークリッド幾何学と双曲幾何学
　1.2　球面幾何学
　1.3　球面三角形の余剰角度
　1.4　曲面の内在的幾何と外在的幾何
　1.5　まっすぐさを使った測地線の作図
　1.6　空間の本質

第2章　ガウス曲率
　2.1　はじめに
　2.2　円の周長と面積
　2.3　局所的ガウス–ボンネの定理

第3章　序章と第I幕の練習問題

第II幕　計量

第4章　計量：曲面の写像
　4.1　はじめに
　4.2　球の射影地図
　4.3　一般の曲面の計量
　4.4　計量曲率公式
　4.5　等角地図
　4.6　ビジュアル複素解析の例
　4.7　球面の等角立体射影
　4.8　立体射影公式
　4.9　立体射影による円の保存

第5章　擬球面と双曲平面
　5.1　ベルトラミの洞察
　5.2　牽引曲線と擬球面
　5.3　擬球面の等角地図
　5.4　ベルトラミ–ポアンカレ半平面
　5.5　光学を用いて測地線を求める
　5.6　平行角
　5.7　ベルトラミ–ポアンカレ円板

第6章　等長変換と複素数
　6.1　はじめに
　6.2　メビウス変換
　6.3　主要結果
　6.4　アインシュタインの時空の幾何学
　6.5　3次元双曲幾何学

第7章　第II幕の練習問題

第III幕　曲率

第8章　平面曲線の曲率
　8.1　はじめに
　8.2　曲率円
　8.3　ニュートンの曲率公式
　8.4　旋回率としての曲率
　8.5　例：ニュートンの牽引曲線

第9章　3次元空間の曲線

第10章　曲面の主曲率
　10.1　オイラーの曲率公式
　10.2　オイラーの曲率公式の証明
　10.3　回転面

第11章　測地線と測地的曲率
　11.1　測地的曲率と法曲率
　11.2　ムーニエの定理
　11.3　測地線は「まっすぐ」である
　11.4　測地的曲率の内在的測定
　11.5　測地的曲率を測定する単純な外在的方法
　11.6　粘着テープによる測地線の構成法の新しい説明
　11.7　回転面上の測地線

第12章　曲面の外在的曲率
　12.1　はじめに
　12.2　球面写像
　12.3　曲面の外在的曲率
　12.4　どのような形状が可能か

第13章　ガウスの驚異の定理
　13.1　はじめに
　13.2　ガウスの美しい定理(1816)
　13.3　ガウスの驚異の定理(1827)

第14章　鋭い突起の曲率
　14.1　はじめに
　14.2　円錐状の突起の曲率
　14.3　多面体状の突起の内在的曲率と外在的曲率
　14.4　多面体に対する驚異の定理

第15章　形作用素
　15.1　方向微分
　15.2　形作用素S
　15.3　Sの幾何学的効果
　15.4　寄り道：転置行列の特異値分解の幾何学
　15.5　一般のSの行列　
　15.6　Sの幾何学的解釈と[S]の単純化
　15.7　[S]は3種類の曲率によって完全に決まる
　15.8　漸近方向
　15.9　古典的な用語と記法：3種類の基本形式

第16章　大域的ガウス–ボンネの定理入門
　16.1　予備知識と定理の主張
　16.2　球面とトーラスの全曲率
　16.3　分厚いパンケーキを使ってK(S_g)を見る
　16.4　ベーグルとブリッジを使ってK(S_g)を見る
　16.5　球面写像の位相的次数
　16.6　歴史的経緯に関する注意

第17章　大域的ガウス–ボンネの定理の（試行錯誤的）証明
　17.1　平面的ループの全曲率：ホップの回転量定理
　17.2　変形された円周の全曲率
　17.3　ホップの回転量定理の発見的証明
　17.4　変形された球面の全曲率
　17.5　大域的ガウス–ボンネの定理の発見的証明

第18章　大域的ガウス–ボンネの定理の（余剰角度による）証明
　18.1　オイラー標数
　18.2　オイラーの（実験による）多面体公式
　18.3　コーシーによるオイラーの多面体公式の証明
　18.4　オイラー多面体公式のルジャンドルによる証明
　18.5　曲面に把手をつけて種数を増やす
　18.6　余剰角度による大域的ガウス–ボンネの定理の証明

第19章　大域的ガウス–ボンネの定理の（ベクトル場による）証明
　19.1　はじめに
　19.2　平面内のベクトル場
　19.3　特異点の指数
　19.4　典型的な特異点：複素べき
　19.5　曲面上のベクトル場
　19.6　ポアンカレ–ホップの定理
　19.7　大域的ガウス–ボンネの定理のベクトル場による証明
　19.8　今後の道筋

第20章　第III幕の練習問題

第IV幕　平行移動

第21章　歴史上の謎

第22章　外在的構成法
　22.1　進みながら曲面に射影する
　22.2　測地線と平行移動
　22.3　ジャガイモの皮剥き移動

第23章　内在的構成法
　23.1　測地線を用いた平行移動
　23.2　内在的（すなわち「共変」）微分

第24章　ホロノミー
　24.1　球面の例
　24.2　一般の測地的三角形のホロノミー
　24.3　ホロノミーの加法性
　24.4　双曲平面での例

第25章　幾何学による驚異の定理の直観的証明
　25.1　はじめに
　25.2　記法と定義の備忘録
　25.3　ここまでの話の流れ
　25.4　球面写像は平行移動を保つ
　25.5　美しい定理と驚異の定理の解説

第26章　大域的ガウス–ボンネの定理の（ホロノミーによる）証明
　26.1　はじめに
　26.2　閉じていない曲線に沿ったホロノミーとは
　26.3　ホップによる大域的ガウス–ボンネの定理の内在的証明

第27章　計量曲率公式の幾何学的証明
　27.1　はじめに
　27.2　ループの周りのベクトル場の循環
　27.3　試行：平面でのホロノミー
　27.4　計量から誘導される地図上のベクトル場の循環としてのホロノミー
　27.5　計量曲率公式の幾何学的証明

第28章　近接する測地線間の力としての曲率
　28.1　ヤコビ方程式入門
　28.2　ヤコビ方程式の2通りの証明
　28.3　小さな測地円の周長と面積

第29章　リーマン曲率
　29.1　はじめに
　29.2　n次元多様体における余剰角度
　29.3　平行移動：3通りの構成法
　29.4　内在的微分（「共変」微分）∇v
　29.5　リーマン曲率テンソル
　29.6　n次元多様体のヤコビ方程式
　29.7　リッチ・テンソル
　29.8　終わりに

第30章　アインシュタインの曲がった時空
　30.1　はじめに：「生涯でもっともすばらしい考え」
　30.2　重力による潮汐力
　30.3　ニュートンの重力法則の幾何学的な形式
　30.4　時空の計量
　30.5　時空図
　30.6　アインシュタインの真空場の方程式の幾何学的な形式
　30.7　シュヴァルツシルト解とアインシュタインの理論の最初の検証
　30.8　重力波
　30.9　（物質が存在する）アインシュタインの場の方程式の幾何学的な形式
　30.10　ブラックホールへの重力崩壊
　30.11　宇宙定数：「人生最大の過ち」
　30.12　幕引き

第31章　第IV幕の練習問題

第V幕　微分形式

第32章　1形式
　32.1　はじめに
　32.2　1形式の定義
　32.3　1形式の例
　32.4　基底1形式
　32.5　1形式の成分
　32.6　1形式としての勾配：df
　32.7　1形式の幾何学的な足し算

第33章　テンソル
　33.1　テンソルの定義：タイプ
　33.2　線形代数の例
　33.3　既存のテンソルから新たなテンソルを作る
　33.4　成分
　33.5　古典的な線素に対する計量テンソルの関係
　33.6　線形代数の例（続き）
　33.7　縮約
　33.8　計量テンソルによるタイプの変更
　33.9　対称性と反対称性

第34章　2形式
　34.1　2形式とp形式の定義
　34.2　面積2形式の例
　34.3　二つの1形式の外積
　34.4　極座標における面積2形式
　34.5　基底2形式と射影
　34.6　流束：2形式にベクトルを結びつける
　34.7　R³におけるベクトルと外積の関係
　34.8　ファラデー／マックスウェルの電磁2形式

第35章　3形式
　35.1　3形式には3次元が必要である
　35.2　2形式と1形式の外積
　35.3　体積3形式
　35.4　球面極座標における体積3形式
　35.5　3個およびp個の1形式の外積　
　35.6　基底3形式
　35.7　Ψ∧Ψ ≠ 0は可能か

第36章　微分
　36.1　1形式の外微分
　36.2　2形式の外微分とp形式の外微分
　36.3　微分形式に対するライプニッツ則
　36.4　閉微分形式と完全微分形式
　36.5　微分形式によるベクトル解析
　36.6　マックスウェルの方程式

第37章　積分
　37.1　1形式の線積分
　37.2　積分としての外微分
　37.3　外微分の基本定理（一般化ストークスの定理）
　37.4　境界の境界はゼロ
　37.5　ベクトル解析の古典的な積分定理
　37.6　外微分の基本定理の証明
　37.7　コーシーの定理
　37.8　1形式に対するポアンカレの補題
　37.9　ドラーム・コホモロジー入門

第38章　微分形式による微分幾何学
　38.1　はじめに：カルタンの動標構法
　38.2　接続1形式
　38.3　姿勢行列
　38.4　カルタンの二つの構造方程式
　38.5　曲面の基本的な6種類の微分形式方程式
　38.6　対称性とピーターソン–マイナルディ–コダッチ方程式の幾何学的意味
　38.7　ガウス方程式の幾何学的な形式
　38.8　計量曲率公式と驚異の定理の証明
　38.9　新しい曲率公式
　38.10　ヒルベルトの補題
　38.11　リーブマンの球面剛性定理
　38.12　n次元多様体の曲率2形式
　38.13　シュヴァルツシルト・ブラックホールの曲率

第39章　第V幕の練習問題

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索引