ハミルトン–ヤコビ方程式

第1章　Hamilton-Jacobi 方程式に対する粘性解入門
　1.1　序論
　1.2　一階Hamilton-Jacobi 方程式に対する粘性消滅法
　　　1.2.1　接触関数による粘性解の定義
　　　1.2.2　問題
　　　1.2.3　広義の微分を用いた粘性解の定義
　　　1.2.4　問題
　1.3　粘性消滅法による粘性解の存在
　1.4　粘性解の整合性と安定性
　1.5　定常問題に対する比較原理と一意性の結果
　　　1.5.1　問題
　1.6　Cauchy 問題に対する比較原理と一意性の結果
　　　1.6.1　問題
　1.7　古典的なBernstein 法入門
　　　1.7.1　問題
　1.8　Perron の方法入門
　　　1.8.1　定常問題に対するPerron の方法
　　　1.8.2　問題
　　　1.8.3　Cauchy 問題に対するPerron の方法
　1.9　Perron 法を用いたCauchy 問題のLipschitz 評価
　　　1.9.1　問題
　1.10　Cauchy 問題に対する有限速度伝播
　1.11　定常問題に対する粘性消滅法の二重変数法による収束率
　1.12　定常問題に対する粘性消滅法の非線形随伴法による収束率
　　　　1.12.1　一般の非凸型Hamiltonian
　　　　1.12.2　一様凸型Hamiltonian
　　　　1.12.3　問題
　1.13　文献

第2章　凸型Hamiltonian をもつ一階Hamilton-Jacobi方程式
　2.1　最適制御理論入門
　2.2　動的計画原理
　　　2.2.1　問題
　2.3　値関数に対する定常Hamilton-Jacobi 方程式
　2.4　Legendre 変換
　　　2.4.1　問題
　2.5　Lagrangian の視点から見た最適制御公式
　　　2.5.1　Lagrangian の視点に基づく定常方程式の解の新しい表現公式
　　　2.5.2　Lagrangian の視点からのCauchy 問題の解の表現公式
　　　2.5.3　問題
　　　2.5.4　Hopf-Lax の公式
　　　2.5.5　一階波面伝播問題
　　　2.5.6　問題
　2.6　一階凸型Hamilton-Jacobi 方程式の更なる隠された構造
　　　2.6.1　一階凸型Hamilton-Jacobi 方程式の粘性劣解の特徴付け
　　　2.6.2　一階凸型Hamilton-Jacobi 方程式の粘性解の特徴付け
　　　2.6.3　問題
　　　2.6.4　Hopf-Lax の公式再訪
　2.7　最大劣解とその表現公式
　　　2.7.1　最大劣解と距離問題
　　　2.7.2　Lagrangian を用いた表現公式
　　　2.7.3　一階波面伝播問題に対する表現公式
　　　2.7.4　一般化
　　　2.7.5　問題
　2.8　文献

第3章　非凸型Hamiltonian をもつ一階Hamilton-Jacobi 方程式
　3.1　二人零和微分ゲーム入門
　　　3.1.1　設定
　　　3.1.2　終端値問題に対する粘性解
　　　3.1.3　ゲームの上側Hamiltonian と下側Hamiltonian
　　　3.1.4　上限値，下限値の性質
　　　3.1.5　定理3.4 の証明
　　　3.1.6　問題
　3.2　Hamilton-Jacobi 方程式の解の表現公式
　　　3.2.1　終端値問題
　　　3.2.2　初期値問題
　3.3　Hopf の公式
　3.4　差分近似
　　　3.4.1　単調整合スキーム
　　　3.4.2　いくつかの例
　3.5　文献

第4章　Hamilton-Jacobi 方程式に対する周期的均質化理論
　4.1　周期的均質化理論入門
　　　4.1.1　序論
　　　4.1.2　導出
　4.2　定常Hamilton-Jacobi 方程式のcell 問題と周期的均質化
　　　4.2.1　Cell 問題
　　　4.2.2　問題
　　　4.2.3　定常Hamilton-Jacobi 方程式の周期的均質化
　4.3　Cauchy 問題の周期的均質化
　　　4.3.1　発見的証明
　　　4.3.2　Evans の摂動試験関数法を用いた厳密な証明
　4.4　Effective Hamiltonian の初等的な性質
　　　4.4.1　H の簡単な定性的性質
　　　4.4.2　長時間平均とH
　　　4.4.3　問題
　4.5　凸型の設定の下でのeffective Hamiltonian の更なる性質
　　　4.5.1　inf-sup 公式
　　　4.5.2　長時間平均公式
　　　4.5.3　1 次元の例
　　　4.5.4　問題
　　　4.5.5　凸型の設定の下でのH の定性的性質
　　　4.5.6　H の平坦部分
　4.6　非凸型の設定の下でのeffective Hamiltonian の表現公式
　　　4.6.1　最も簡単な場合
　　　4.6.2　もっと一般の場合
　　　4.6.3　一般の場合
　　　4.6.4　仮似凸変形による効果
　　　4.6.5　問題
　　　4.6.6　偶関数性の消滅と分解不能なeffective Hamiltonian
　4.7　収束率
　　　4.7.1　Capuzzo-Dolcetta and Ishii の方法
　　　4.7.2　ひとつの改良
　　　4.7.3　問題
　4.8　Cell 問題の解の非一意性
　　　4.8.1　問題
　4.9　文献

第5章　Hamilton-Jacobi 方程式に対する概周期的均質化理論
　5.1　概周期的均質化理論入門
　　　5.1.1　序論
　　　5.1.2　導出
　5.2　ディスカウント消滅問題とeffective Hamiltonian の確定
　5.3　劣線形corrector の非存在
　5.4　Cauchy 問題に対する均質化
　5.5　Effective Hamiltonian の性質
　　　5.5.1　H の基本的性質
　　　5.5.2　凸型の設定の下でのH の表現公式
　　　5.5.3　問題
　5.6　文献

第6章　トーラスにおける一階凸型Hamilton-Jacobi方程式
　6.1　ディスカウント消滅問題の解の新しい表現公式
　　　6.1.1　コンパクトな制御パラメータ集合をもつ最適制御問題への簡略化
　　　6.1.2　新しい表現公式
　6.2　Effective Hamiltonian の新しい表現公式とその応用
　　　6.2.1　H(0) に対する新しい表現公式
　　　6.2.2　応用
　　　6.2.3　問題
　6.3　Cell 問題，逆向き特性曲線とその応用
　　　6.3.1　逆向き特性曲線
　　　6.3.2　問題
　　　6.3.3　逆向き特性曲線の長時間平均
　6.4　周期的均質化理論における収束率の最良評価
　　　6.4.1　一般の場合
　　　　　　6.4.1.1　準備
　　　　　　6.4.1.2　定理6.19 の証明
　　　6.4.2　1 次元の場合
　　　6.4.3　2 次元での設定
　　　6.4.4　問題
　6.5　Lipschitz 連続な粘性劣解の同値な特徴付け
　　　6.5.1　Lipschitz 連続な劣解の特徴付け
　　　6.5.2　問題
　6.6　文献

第7章　弱KAM 理論入門
　7.1　序論
　7.2　弱KAM 理論におけるLagrangian の方法
　　　7.2.1　弱KAM 定理
　　　7.2.2　流れ不変性とH(0) の別の特徴付け
　7.3　Mather 測度とMather 集合
　　　7.3.1　Lipschitz グラフ定理
　　　7.3.2　緩和問題
　7.4　弱KAM 理論における非線形PDE の方法
　　　7.4.1　粘性消滅近似
　　　7.4.2　長時間平均近似とその応用
　7.5　射影Aubry 集合
　　　7.5.1　PDE からの視点
　　　7.5.2　(7.23) の解の表現公式
　　　7.5.3　Lagrangian からの視点
　7.6　文献

第8章　凸型の設定の下でのeffective Hamiltonian の更なる性質
　8.1　ある方向に関してのeffective Hamiltonian の真の凸性
　8.2　無限遠での漸近展開
　　　8.2.1　無限遠点における漸近展開の方法
　　　8.2.2　厳密な展開
　8.3　古典的なHedlund の例
　8.4　古典的なHedlund の例のある一般化
　8.5　文献

Appendix A　 表記法
　A.1　集合と空間の記号
　A.2　関数の記号
　A.3　関数空間に関する記号
　A.4　評価に関する記号

Appendix B　Sion のminimax 定理

Appendix C　Legendre 変換の特徴付け
　C.1　準備
　C.2　アフィン関数とデルタ型関数

Appendix D　作用汎関数に対する最小化経路の存在と正則性
　D.1　最小化経路の存在
　D.2　最小化経路の正則性

Appendix E　境界値問題
　E.1　状態拘束問題
　E.2　Dirichlet 問題
　E.3　Neumann 問題

Appendix F　sup たたみ込み

Appendix G　定理6.26 の証明の概略

参考文献

索引