もくじ

はじめに ································································· 3

第1章 べき級数展開 ······················································ 9
1. 1. 複素数 9
1. 2. 複素数の関数 12
1. 2. 1. 多項式 12
1. 2. 2. 三角関数 12
1. 3.べき級数展開 13
1. 3. 1. マクローリン展開 13
1. 3. 2. テイラー展開 16
1. 4. 指数関数の級数展開 18
1. 5. 三角関数の級数展開 19
1. 6. 級数展開を利用した微分 20
1. 6. 1. 三角関数の微分 20
1. 6. 2. 指数関数の微分 21
1. 7. 級数展開を利用した積分 21
1. 8. オイラーの公式 23
1. 9. 極形式とオイラーの公式 27

第2 章 複素変数の関数 ·················································· 29
2. 1. 複素変数の2 次関数 29
2. 2. 写像 30
2. 2. 1. w = z2 のグラフ 31
2. 2. 2. 極形式 33
2. 2. 3. w = αz のグラフ 35
2. 3. 複素変数の初等関数 35
2. 3. 1. 三角関数 36
2. 3. 2. 複素指数関数 42
2. 3. 3. 対数関数 46
2. 4. 複素べき級数 49

第3 章 複素関数の微分 ·················································· 52
3. 1. コーシー・リーマンの関係式 53
3. 2. ラプラス方程式と正則関数 59
3. 2. 1. 調和関数 61
3. 2. 2. 共役関数 63
3. 3. 実数関数と複素関数の対応関係 66

第4 章 複素積分 ························································ 74
4. 1. 積分路 75
4. 2. コーシーの積分定理 78
4. 3. 円を経路とする周回積分 81
4. 4. ゼロとならない周回積分 84
4. 5. 複素積分の応用 92
4. 6. 実数積分の計算 94
4. 7. ガウス関数 100
補遺4-1 ガウス積分 105

第5 章 留数 ···························································· 108
5. 1. 複素積分の真髄 108
5. 2. 留数 111
5. 3. ローラン展開 113
5. 4. ローラン展開と留数 115
5. 5. 留数の求め方 116
5. 6. ローラン級数と位数 118
5. 7. 留数が複数ある場合 122
補遺5-1 特異点 135
A5. 1. 孤立特異点と集積特異点 135
A5. 2. 孤立特異点の分類 136
A5. 3. 分岐点 138

第6 章 複素積分の応用 ················································· 139
6. 1. 有理関数 139
6. 2. 三角関数を含んだ積分 146
6. 3. 三角関数と有理関数の組み合わせ 151
6. 4. フーリエ変換 155
6. 5. ラプラス逆変換 163

第7 章 コーシーの積分公式 ············································· 171
7. 1. 積分公式の証明 172
7. 2. グルサの公式 177

第8 章 主値積分 ······················································· 184
8. 1. コーシーの主値 184
8. 2. ディリクレ積分 185
8. 3. x = a に特異点がある場合 191
8. 4. 積分経路の自由度 194
8. 5. 複数の特異点がある場合 196
8. 6. 積分路の変更 202

第9 章 多価関数 ······················································· 204
9. 1. 多価関数とは 204
9. 2. 複素数の多価性 206
9. 3. 多価関数の特徴 208
9. 4. 分岐点 209
9. 5. 分岐点を有する関数の積分 211
9. 6. リーマン面 220
9. 7. 複数のリーマン面 222

第10 章 解析接続 ······················································ 223
10. 1. テイラー展開と定義域 223
10. 2. 複素関数の解析接続 229
10. 3. ガンマ関数の解析接続 233

おわりに ······························································ 241