対称性と機械学習

　まえがき

１　対称性と機械学習への誘い
　1. 1 対称性とは
　1. 2 対称性と幾何
　1. 3 対称性と物理法則
　1. 4 関数と対称性
　1. 5 機械学習における入力に対する不変性の例
　　　コラム 1. 1 連続的に変化する入力に対する予測タスクに不変性が求められる
　　　コラム 1. 2 完全ではないが対称性が一部成り立つ現実のデータを扱う
　1. 6 同変性
　1. 7 変換情報の保持と対称性
　1. 8 無限の変換をどのように扱うのか
　1. 9 群・表現
　1. 10 作用と表現
　1. 11 位相群とリー群
　1. 12 機械学習とは
　1. 13 帰納バイアス
　1. 14 データオーグメンテーション
　1. 15 もつれを解いた表現と対称性
　1. 16 各章の構成
　第1章のまとめ

２　群・表現論
　2. 1 群の導入
　2. 2 同型写像・準同型写像
　2. 3 部分群
　2. 4 剰余類
　2. 5 正規部分群・商群
　2. 6 作用
　2. 7 作用の例
　2. 8 群の表現
　2. 9 リー群
　　2. 9. 1 滑らかな群と線形代数
　　2. 9. 2 指数写像
　　2. 9. 3 リー群
　　　コラム 2. 1 ロドリゲスの回転公式
　2. 10 リー代数
　　2. 10. 1 リー代数
　　2. 10. 2 リー群とリー代数の関係
　　2. 10. 3 曲線上の指数写像
　　2. 10. 4 リー群の準同型写像
　第2章のまとめ

３　対称性を備えた関数
　3. 1 対称性を備えた関数
　3. 2 ニューラルネットワークとは
　3. 3 ニューラルネットワークへの対称性の導入
　3. 4 G不変な仮説空間
　3. 5 軌道・軌道集合
　3. 6 軌道集合を用いた仮説空間
　3. 7 商仮説空間
　3. 8 等質空間
　3. 9 安定部分群
　3. 10 等質空間と商空間
　3. 11 写像の持ち上げと射影
　3. 12 畳み込みと群畳み込み
　3. 13 群畳み込みは同変性を備える
　3. 14 等質空間の同変性
　3. 15 特徴マップ
　3. 16 一般化群畳み込み演算
　3. 17 一般化群畳み込みの問題点
　第3章のまとめ

４　対称性を備えたニューラルネットワーク
　4. 1 並進群の特徴マップ上での作用
　4. 2 並進同変と畳み込みの同値性
　4. 3 畳み込みニューラルネットワーク
　　4. 3. 1 並進同変であるバイアス加算
　　4. 3. 2 並進同変である要素ごとの非線形活性化関数
　4. 4 アフィン群同変な畳み込みニューラルネットワーク
　4. 5 アフィン群による作用
　4. 6 アフィン群の表現
　4. 7 積み重ねられた特徴マップ
　4. 8 アフィン群同変ニューラルネットワーク
　4. 9 アフィン群同変であるバイアス加算や非線形活性化関数
　4. 10 G同変写像の求め方
　第4章のまとめ

５　リー群に同変な関数の設計
　5. 1 対称性をもつ関数の設計
　5. 2 群の分解
　5. 3 リー群の単位元成分の生成
　5. 4 リー群の単位元成分による剰余類分解
　5. 5 誘導された群作用
　5. 6 リー代数の作用
　5. 7 リー微分
　5. 8 安定化群のリー代数の特徴づけ
　5. 9 リー群に対し同変となる必要十分条件
　5. 10 線形層での同変性導入
　5. 11 実際の数値計算
　5. 12 制約の構造を使った効率的な計算手法
　5. 13 クリロフ法を使った核の効率的な推定方法
　5. 14 特徴マップ間の同変な線形写像
　5. 15 力学系における対称性と保存則
　5. 16 対称性の促進
　5. 17 対称性の促進：離散群の場合
　5. 18 対称性の促進：連続群の場合
　第5章のまとめ

６　クリフォード代数にもとづく対称性
　6. 1 クリフォード代数
　6. 2 幾何積
　6. 3 グレード・ブレード・マルチベクトル
　6. 4 グレード射影
　6. 5 幾何積による内積とウェッジ積の統一
　6. 6 マルチベクトルがもつ幾何的な意味
　6. 7 マルチベクトルと幾何
　6. 8 双対化演算
　6. 9 Pin群，Spin群
　6. 10 バーサーによる作用
　6. 11 射影幾何代数
　6. 12 代数幾何におけるユークリッド同変写像
　第6章のまとめ

Appendix
Ａ　群・表現論の補足情報
　A. 1 準同型定理
　A. 2 群作用の全単射性
　A. 3 正則表現
　A. 4 正則表現の分解
　A. 5 交絡作用素
　A. 6 部分表現，既約表現
Ｂ　行列とベクトル操作について

　　参考文献
　　索　引