微分方程式演習 新装版

　演習のすすめ
　はじめに

１　自然法則と微分方程式
　1－1　微積分の予備知識
　1－2　微分方程式の簡単な例
　［Tips］変数が整数でも微分可能と考えられる場合
　［Tips］保存則を利用する
　1－3　微分方程式の解
　［Tips］微分方程式と解の関係
　〔コーヒーブレーク〕専門用語――英語の場合
　1－4　微分方程式の用語
　［Tips］双曲線関数
　〔コーヒーブレーク〕細菌とマルサスのモデル

２　微分方程式の初等解法
　2－1　変数分離型方程式
　［Tips］dx，dyを独立した量とみなす
　［Tips］分母が0になったら？
　〔コーヒーブレーク〕その記号はどんな意味？
　2－2　同次型方程式
　［Tips］同次式の定義
　2－3　1階線形微分方程式
　2－4　完全微分型方程式
　［Tips］積分因子を予想する
　2－5　非正規型方程式
　［Tips］正しい解になっているか，確認しよう
　〔コーヒーブレーク〕ラグランジュ

３　定数係数の2階線形微分方程式
　3－1　斉次方程式と標準形
　［Tips］解法の違いの意味
　［Tips］よく使う役に立つ関係式
　3－2　斉次方程式と指数関数解
　〔コーヒーブレーク〕君の名は？？
　［Tips］応用範囲の広い定数変化法
　3－3　2階斉次方程式の基本解
　3－4　非斉次方程式の解
　［Tips］特解を求めるには重ね合わせの定理を活用せよ
　3－5　非斉次方程式の解法――代入法
　［Tips］臨機応変――代入法がだめなら定数変化法で
　〔コーヒーブレーク〕ラグランジュに大きな影響を与えた人たち――ダランベールとオイラー

４　変数係数の2階線形微分方程式
　4－1　斉次方程式と基本解
　4－2　ロンスキアン
　［Tips］ロンスキアンが0なら1次従属か？
　［Tips］斉次方程式の解の一意性
　［Tips］斉次方程式とロンスキアン
　4－3　特別な型の微分方程式
　［Tips］経験を積む
　［Tips］微分方程式の特異点
　4－4　整級数展開
　［Tips］x＝ρでの収束・発散は？
　［Tips］多項式以外の解はないのか
　4－5　確定特異点
　［Tips］見かけの特異点
　〔コーヒーブレーク〕理想主義者エルミート

５　高階線形微分方程式――連立1階線形微分方程式
　5－1　連立1階微分方程式と高階微分方程式
　［Tips］高階微分方程式を連立微分方程式に変える変数変換
　［Tips］一般解を決定するのに必要な微分方程式の個数
　5－2　2元連立方程式(I)
　［Tips］解軌道と微分方程式
　［Tips］任意定数についての注意
　5－3　2元連立方程式(II)
　［Tips］(5.19)の任意定数は？
　［Tips］基本解と規準振動
　5－4　連立方程式の一般論
　［Tips］レゾルベント行列であるための必要十分条件
　〔コーヒーブレーク〕解の存在と一意性
　［Tips］一般解を求めるには，勘も大切
　〔コーヒーブレーク〕ヘビサイドと演算子法

６　微分方程式と相空間――力学系の理論
　6－1　物体の運動と相空間
　［Tips］相空間
　［Tips］周期運動の解軌道と作用変数
　6－2　微分方程式と力学系
　［Tips］平衡点を物理的にとらえると
　6－3　自励系の解軌道
　［Tips］自励系の解を相空間で見ると
　［Tips］自励系とは実際にどのような系か
　［Tips］解軌道の集積
　［Tips］線形近似が正しいとき，正しくないとき
　〔コーヒーブレーク〕計算力と数学

　問題解答
　索　引