複素関数演習 新装版

　演習のすすめ
　はじめに

１　複素数と複素平面
　1－1　複素数とその四則演算
　1－2　複素平面
　［Tips］複素数の性格
　1－3　複素数の極形式
　［Tips］α^{1/2}と√α
　［Tips］(e^{inθ}^{1/m}と(e^{iθ/m}^nは等しい？

２　複素関数とその微分
　2－1　複素数の関数
　2－2　複素関数の極限値と連続性
　［Tips］拡大z平面とリーマン球面
　2－3　複素関数の微分と正則関数
　〔コーヒーブレイク〕S君とM君の複素数問答・その1――1＝－1？のパラドックス
　［Tips］f'(z_0)＝0の場合についての注意
　2－4　コーシー－リーマンの微分方程式
　〔コーヒーブレイク〕複素数のルーツ

３　いろいろな正則関数とその性質
　3－1　多項式と有理関数
　3－2　指数関数
　3－3　三角関数と双曲線関数
　3－4　ド・ロピタルの公式

４　複素関数の積分とコーシーの積分定理
　4－1　複素積分
　4－2　コーシーの積分定理
　4－3　正則関数の積分について

５　コーシーの積分公式と留数定理
　5－1　コーシーの積分公式
　5－2　留数定理
　［Tips］無限遠点を囲む周回積分
　5－3　実定積分の計算
　［Tips］ジョルダンの補助定理
　〔コーヒーブレイク〕S君とM君の複素数問答・その2――実数？虚数？それとも複素数？

６　関数の展開
　6－1　複素数のベキ級数
　［Tips］上極限・下極限
　6－2　正則関数のテイラー展開
　6－3　ローラン展開
　〔コーヒーブレイク〕ベッセル関数とベッセル

７　多価関数とその積分
　7－1　分数ベキ関数
　7－2　対数関数
　［Tips］1＝－1？ パラドックスの再考
　〔コーヒーブレイク〕ミクロ世界への扉を開く複素数の偏角
　7－3　その他の多価関数
　7－4　多価関数を含む積分
　［Tips］積分路の描き方

８　境界値問題と等角写像
　8－1　境界値問題
　8－2　境界値問題と等角写像
　8－3　いろいろな等角写像

　問題解答
　索　引