エルゴード理論と特性指数

鞍点の概念に注目して力学系に鞍点の集合、すなわち双曲的集合を導入することによって、理論を急速に進歩・発展させたのが20世紀の力学系であった。双曲性をもつクラスの力学系には幾何学的手法が確立され、その方法によって構造的安定性問題、力学的性質の稠密性問題などの解決があって、双曲的集合の導入当時の目的を達成している。しかし、非線形現象から誘導される力学系を双曲性をもつクラスとその他のクラスに分類する場合に、ほとんどの力学系はその他のクラスに属しているのである。そこで、双曲性についてもっと詳しく見ていくと、双曲性は微分を用いて表現される概念である。これを位相の概念に置き換えるとき、双曲性は拡大性と追跡性を併せた概念と見ることができる。この2つの位相的概念は正の最大エントロピー(位相的エントロピー)を与えている。最大エントロピーは統計力学の変分原理と密接に関係し、力学系が正の位相的エントロピーをもてば、必ず不変確率測度があってその測度による測度的エントロピーを正にもつ。ところが、拡大性も追跡性ももち合わせていないにもかかわらず、正の位相的エントロピーをもつ力学系が非線形現象の中に多く発見されている。そして正の測度的エントロピーをもつ力学系は、ルベーグ積分を基本にした実解析的手法によって、双曲性に近い性質をもつことが明らかにされ、実解析的手法と幾何的手法を併せ、さらに理論の発展を可能にしている。
本書は、上で述べた内容を解説していく．前半は統計力学的展開のもとで、ギブス測度、変分原理、平衡測度を紹介し、その後で双曲的アトラクターにふれる。後半では、特性指数を与え、それに基づいてリャプノフ指数を導き、リャプノフ指数から不安定多様体の存在を明らかにする。リャプノフ指数がすべて零でない場合は非一様追跡性補題が確立され、このことから無数に双曲性をもつ集合の存在、さらに測度的エントロピーは双曲性をもつ集合の上の位相的エントロピーで近似されることを見る。読者にとって容易に理解できるように、力学系の実解析を基礎から始めて最先端の入り口までを紹介する。ルベーグ積分などの知識をもち合せていない初学者は第I巻の「力学系の実解析入門」を参考にすれば、困難なく読み進むことができるように配慮している。