マテリアルズインフォマティクスのための応用数学

はじめに　－MIの入り口を前にして－
◆マテリアルズインフォマティクスとは / ◆人工知能とMI / ◆AIの周辺◆パターン認識技術の発展 / ◆AIの特性を鑑みたMIの注意点◆従来型材料研究とMIの比較 / ◆機械学習の方法◆本書の利用目的 / ◆本書の構成

第Ⅰ部　解析の基礎

第1章　データの基本的取り扱い
なぜ最小2乗法を使うのか？
1.1　データの性質
　　1.1.1　回帰と最小2乗法
　　1.1.2　最小2乗法が与える平均の様子
1.2　最小2乗法
　　1.2.1　最小2乗法で計算する数式の導出
　　1.2.2　連立方程式の解法
1.3　最小2乗法の一般化
　　1.3.1　高次多項式への適用
　　1.3.2　連立方程式の解法再び
　　1.3.3　逆行列の件
1.4　データ平均の精度
　　1.4.1　統計におけるサンプル数の問題
　　1.4.2　1/Nプロット
1.5　データトレンドを確認する方法
　　1.5.1　関数形の選択問題
　　1.5.2　対数プロットの導入事例と背景
　　1.5.3　物理法則を考慮した関数の選択
　　1.5.4　座標系による誤差の評価

第2章　データの品質と解析結果の信頼性
データを疑ってみる習慣
2.1　交差検証
　　2.1.1　2次関数による回帰
　　2.1.2　データのサンプリング
　　2.1.3　データ分割による汎化誤差
　　2.1.4　ホールドアウト法から交差検証へ
　　2.1.5　実例による3分割交差検証のまとめ
2.2　学習の目的
　　2.2.1　データの信頼性と統計分布
　　2.2.2　機械学習の目的
　　2.2.3　データ分布の確認
2.3　学習の効果
　　2.3.1　データ分布の確認
　　2.3.2　バイアスとブートストラップ

第3章　データ分布の特徴抽出
なぜ次元削減を使うのか？
3.1　分散共分散行列
　　3.1.1　データ分布の把握
　　3.1.2　データ項目のばらつき
　　3.1.3　分散共分散行列の定義
　　3.1.4　相関係数
3.2　主成分分析 (PCA)
　　3.2.1　データ相関の確認
　　3.2.2　主成分分析 (PCA) の手順1（固有値の計算）
　　3.2.3　主成分分析 (PCA) の手順2（固有ベクトルの計算）
　　3.2.4　主成分分析 (PCA) の手順3（寄与率）
　　3.2.5　座標変換と主成分得点
　　3.2.6　累積寄与率と情報量
　　3.2.7　次元削減
　　3.2.8　具体例における解析結果の確認
3.3　計測におけるPCA
　　3.3.1　スペクトル計測への利用
　　3.3.2　スペクトルデータの変形による解析の準備
　　3.3.3　別ルートからのPCAの説明
　　3.3.4　行列表現での次元削減
　　3.3.5　線形変換の利点
　　3.3.6　情報量の確認
3.4　MIにおけるPCAの価値
　　3.4.1　主成分負荷量の導出
　　3.4.2　主成分負荷量の意味
3.5　次元削減法のいろいろ
　　3.5.1　特異値分解 (SVD)
　　3.5.2　SVDとPCAの関係
　　3.5.3　多次元尺度構成法 (MDS)

第Ⅱ部　機械学習を支える技術

第4章　クラスタリング，分類と判別
類似と相違
4.1　距離・類似度
　　4.1.1　距離からはじめる
　　4.1.2　ユークリッド距離
　　4.1.3　コサイン類似度
　　4.1.4　マンハッタン距離
　　4.1.5　マハラノビス距離
4.2　k-平均法 (k-means)
　　4.2.1　k-平均法の舞台設定
　　4.2.2　k-平均法の動作手順を確認
　　4.2.3　残差平方和の導入
　　4.2.4　クラスター数 (k) の決定
4.3　階層的クラスター分析
　　4.3.1　階層的クラスター分析とは
　　4.3.2　はじめにデータ間距離の一覧表を作成
　　4.3.3　生成されたクラスターを含む距離計算
　　4.3.4　クラスターの連結法
　　4.3.5　樹形図を利用した分析
4.4　EMアルゴリズムによる混合ガウスモデル (GMM)
　　4.4.1　混合ガウスモデルとは
　　4.4.2　GMMの目的
　　4.4.3　GMMの解析方法
　　4.4.4　Eステップの計算
　　4.4.5　Mステップの計算
　　4.4.6　ガウス分布の平均
　　4.4.7　ガウス分布の分散
　　4.4.8　混合係数
4.5　k最近傍法 (kNN)
　　4.5.1　kNNの手順
　　4.5.2　特殊な場合である最近傍法 (NN)
　　4.5.3　データ判別方法の説明
　　4.5.4　kNNの実施例
4.6　次元削減とクラスタリングの連動
　　4.6.1　汎用性の高い機械学習を目指して
　　4.6.2　画像フーリエ変換をデータの特徴抽出に利用する方法（サンプルの準備）
　　4.6.3　画像フーリエ変換の実施
　　4.6.4　スペクトルからのデータ行列生成
　　4.6.5　クラスタリングを目的としたPCAの利用法

第5章　信頼性を担保したデータトレンドの予測
過学習
5.1　損失関数とペナルティー項（罰金項）
　　5.1.1　過学習の例
　　5.1.2　過学習を抑制する損失関数
5.2　正則化
　　5.2.1　ペナルティー項の計算
　　5.2.2　正則化の意味
　　5.2.3　正則化の種類
　　5.2.4　リッジ回帰
　　5.2.5　ラッソ回帰 (LASSO)
5.3　リッジ回帰とラッソ回帰の次元削減
　　5.3.1　リッジ回帰とラッソ回帰の可視化
　　5.3.2　リッジ回帰における損失の様子
　　5.3.3　リッジ回帰による過学習の抑制
　　5.3.4　過学習に対するハイパーパラメータの効果
　　5.3.5　ラッソ回帰における損失の様子
　　5.3.6　ラッソ回帰による過学習の抑制
　　5.3.7　損失関数が形成する地形
　　5.3.8　ハイパーパラメータによる損失地形変化

第6章　ベイズ統計の考え方
ベイズ統計とは
6.1　ベイズ統計
　　6.1.1　条件付き確率の復習
　　6.1.2　ベイズの基本公式
6.2　ベイズの公式と尤度
　　6.2.1　サンプルの厚さ推定を利用した具体例
　　6.2.2　尤度の計算
　　6.2.3　尤度の最大化
6.3　MAP推定
　　6.3.1　事前分布の確認
　　6.3.2　事後分布の計算
　　6.3.3　MAP推定
6.4　多次元化の表現
　　6.4.1　多次元ベイズ推定の準備
　　6.4.2　多次元での尤度計算
　　6.4.3　事前分布の行列表現
　　6.4.4　尤度の行列表現
　　6.4.5　事後分布の計算

第7章　ガウス過程回帰
ガウス分布の話
7.1　ガウス関数による近似法
　　7.1.1　基底関数
　　7.1.2　ガウス関数の重ね合わせ
　　7.1.3　パラメータ計算の問題点
　　7.1.4　分散の確認
7.2　初歩のカーネル法
　　7.2.1　カーネルの導入
　　7.2.2　ベイズ推定との融合
7.3　ガウス過程回帰
　　7.3.1　ガウス過程回帰における計算法
　　7.3.2　機械学習とベイズ最適化
7.4　カーネル法の応用
　　7.4.1　カーネル主成分解析
　　7.4.2　サポートベクトルマシン：SVM

第8章　脳機能の模型化とニューラルネットワーク
AIの進歩
8.1　線形判別
　　8.1.1　教師あり学習の場合
　　8.1.2　教師なし学習の場合
　　8.1.3　二値化画像の解析
8.2　パーセプトロン
　　8.2.1　線形識別の新たな解釈
　　8.2.2　パーセプトロンの限界
8.3　ニューラルネットワーク
　　8.3.1　非線形関数
　　8.3.2　ニューラルネットワークの学習
　　8.3.3　教師データとの比較
　　8.3.4　回路の最適化
　　8.3.5　データの逆伝搬
　　8.3.6　シグモイド関数の効果
8.4　深層学習：ディープラーニング
　　8.4.1　深層学習の構造
　　8.4.2　深層学習の有効性

第III部　機械学習を補助する技術

第9章　モンテカルロ法
確率過程を徹底する
9.1　モンテカルロ法
　　9.1.1　一様乱数の利用
　　9.1.2　結晶構造シミュレーション
　　9.1.3　モンテカルロ法の計算手順
9.2　確率分布関数が一様でない場合のモンテカルロ法
　　9.2.1　温度依存性のシミュレーション
　　9.2.2　エネルギー地形の影響
　　9.2.3　仮想アニーリング
9.3　逆モンテカルロ法
　　9.3.1　情報の回復
　　9.3.2　フーリエ変換と位相問題
　　9.3.3　モンテカルロ法の応用

第10章　仮想スクリーニングとデータ同化
仮想空間の利便性
10.1　データ同化
　　10.1.1　データ同化の実用例
　　10.1.2　補間方法
10.2　仮想スクリーニングの例
　　10.2.1　仮想スクリーニングの目的設定
　　10.2.2　データ同化の応用
10.3　データ同化を利用した磁性材料の磁化反転解析
　　10.3.1　磁気エネルギー地形
　　10.3.2　データ駆動型自由エネルギー模型
　　10.3.3　単純な例による拡張ランダウ理論の解説
　　10.3.4　多次元の場合の拡張ランダウ理論
　　10.3.5　拡張ランダウ理論のさらなる拡張

付録A　ラグランジュの未定乗数表
付録B　フーリエ変換の性質
付録C　フーリエ変換と散乱実験

参考文献

索　　引