非可換微分幾何学の基礎

　従来の幾何学では，「点集合」を要素とした幾何学的な理論・手法の開発をしてきたといえる。そこに空間的な概念を据え，関数・ベクトル場・微分形式といった対象物を定義することで，多様体論の基礎概念が支えられ，物理学での相対性理論の飛躍にも大きく貢献していった。物理学ではその後，ある意味で「点」を基礎としない量子論に考え方を大きく変えている。数学についても，これに呼応する”新たな考え方”が期待されるなかで，その候補として研究が行なわれているのが，本書で扱われる，代数構造の変形から生まれる「変形量子化」による「非可換の幾何学」である。
　本書では，まず「Pursell-Shanks型定理」などにより，古典的空間概念から非可換空間への移行を図る。次に，「シンプレクティック多様体」とその変形量子化について解説する。最後に，空間概念の量子化の鍵となりうる「ポアソン代数」とその変形量子化について解説する。
　さまざまな場の理論を画一的に理解できるようにすることや，非可換場の理論の構築にも期待がされる大きな理論について，丁寧に解説する。