複素解析トレッキング

複素解析は数学の一つの分野であるが、それが“数”に根ざすものとして人類が積み重ねてきた貴重な文化とも言え、そして現在も新しい開拓や進展が続いている。その関係領域を含めて眺めると実に広大であり、有名な未踏峰のリーマン予想という連峰をはじめとした高い山々があちこちに聳え、一方で神秘的な森や美しい高原も広がっている。
本書では、高山のふもとに入って美しい風景を眺め、時には新しい小路や知らない花を見つけて楽しみながらトレッキングするがごとく、複素解析の世界を解説していく。まず、オイラーに端を発する指数関数、ガンマ関数、ゼータ関数の研究を経てリーマンに至るまでの体系について、リーマンのゼータ関数とその周辺に関する話題を、複素解析的に厳密に、そしてできるだけ丁寧に紹介する。次に、現代ではグリーン関数と共に複素解析学における基本関数である調和測度について、その性質、応用やそれらの相互関係、ポテンシャルとの関係などについて、平面領域に限って少し詳しく解説する。邦書ではあまり見かけないネバンリンナの二定数定理についても少し丁寧に紹介する。最後に、多元数系の中で複素数がもつ著しい特徴を示す「フロベニウスの定理」についての証明を述べる。
複素解析のいくつかの主要な結果を軽妙に味わうことができる、「トレッキング」の名にふさわしい1冊である。