ゾンビ先生による夜の書店ゾンビ講座|ミッドナイトジュンクラブ
- 発売日：2026/11/05
- 出版社：共立出版
- ISBN：9784320112810
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情報幾何
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商品説明
情報幾何学が誕生するきっかけの一つは統計的推定の漸近理論にあった。漸近理論とは、データの個数が大きくなったときにどのようなことが成り立つかを調べる理論のことである。この理論に現れる正則条件と呼ばれるものをよく観察すると、情報幾何学の基本要素である多様体の定義が浮かび上がってくる。本書ではこの点を押さえることを第一の目標とした上で、副題にある「推定と予測の漸近理論」を構築していく。
推定の漸近理論のうち、特に平均二乗誤差の漸近展開は、情報幾何の黎明となったEfronやAmariの研究の主題である。この結果を理解するために必要となる幾何学の用語や概念を、関連する統計学のトピックとともに解説する。
もう一つのテーマである予測の漸近理論については、真の分布が統計モデルの中にあることが分かっているという状況であっても、あえてモデルから外れた予測をした方が真の分布に近づくことができる、というKomakiの定理を証明する。ここに統計モデルの幾何学的性質が関係してくる。そしてベイズ予測分布はこの意味で優れた予測分布になっている。
他書を頼らずとも読み進められるよう、必要な事項はなるべく自己完結的になるよう構成されている。想定している読者は、大学の微分積分と線形代数をある程度学んだことがある方である。
推定の漸近理論のうち、特に平均二乗誤差の漸近展開は、情報幾何の黎明となったEfronやAmariの研究の主題である。この結果を理解するために必要となる幾何学の用語や概念を、関連する統計学のトピックとともに解説する。
もう一つのテーマである予測の漸近理論については、真の分布が統計モデルの中にあることが分かっているという状況であっても、あえてモデルから外れた予測をした方が真の分布に近づくことができる、というKomakiの定理を証明する。ここに統計モデルの幾何学的性質が関係してくる。そしてベイズ予測分布はこの意味で優れた予測分布になっている。
他書を頼らずとも読み進められるよう、必要な事項はなるべく自己完結的になるよう構成されている。想定している読者は、大学の微分積分と線形代数をある程度学んだことがある方である。
目次
第1章 はじめに
1.1 最初の例標本相関係数の分散安定化変換
1.2 本書の構成
第2章 情報理論の基礎
2.1 データ圧縮の例
2.2 符号化
2.3 エントロピー
2.4 統計学と情報理論の関係
2.5 カルバック・ライブラー(KL)情報量の性質
2.6 補足
2.6.1 ハフマン符号
2.6.2 定理2.2の証明
2.6.3 凸性と下半連続性
2.6.4 KL情報量の凸性と下半連続性の証明
2.6.5 一般の集合上のKL情報量
第3章 多様体の基礎
3.1 多様体の定義
3.2 記号の約束
3.3 接ベクトル
3.4 テンソル，特にリーマン計量
3.5 体積要素
3.6 双曲平面
3.7 接続
3.7.1 ユークリッド空間から導かれる接続
3.7.2 一般の多様体における接続
3.8 ラプラシアン
3.9 曲率
3.10 埋め込みと沈め込み
3.11 補足
3.11.1 陰関数定理
3.11.2 定理3.1の証明
3.11.3 積分可能条件
3.11.4 曲率に関する補題と定理の証明
第4章 統計的推測の基礎
4.1 統計モデル
4.2 統計モデルの正則性
4.3 確率変数，期待値，独立性
4.4 フィッシャー情報量
4.5 クラメール・ラオの不等式
4.6 最尤推定量
4.7 最尤推定量の漸近的性質
4.7.1 一致性
4.7.2 漸近正規性
4.8 補足
4.8.1 確率論における極限定理
4.8.2 一般の集合上の統計モデル
第5章 フィッシャー計量
5.1 有限集合上の統計モデル多様体
5.2 フィッシャー計量
5.3 1変量正規分布モデルのフィッシャー計量
5.4 分散安定化変換
5.5 2変量正規分布モデルのフィッシャー計量
第6章 双対接続
6.1 指数型分布族
6.2 ポテンシャル関数の性質
6.3 曲指数型分布族
6.4 双対接続
6.5 2変量正規分布モデルの双対接続
6.6 双対接続に関する曲率
6.7 混合パラメータ化
6.8 補足
6.8.1 分解定理
6.8.2 定理6.2の証明
第7章 推定量の高次漸近有効性
7.1 推定量の良さをどう測るか
7.2 モデルと推定量に対する仮定
7.3 推定多様体
7.4 1次漸近有効性
7.5 2次漸近有効性
7.6 フィッシャーのz変換の標準誤差
7.7 補足
7.7.1 ラオ・ブラックウェルの定理
7.7.2 補題7.1の証明
7.7.3 一様可積分性
第8章 ベイズ予測
8.1 統計的予測
8.2 予測分布の良さをどう測るか
8.3 モデルと予測分布に対する仮定
8.4 1次の漸近理論
8.5 2次の漸近理論
8.6 事前分布の比較
8.7 補足
8.7.1 ラプラス法
8.7.2 定理8.2の証明
8.7.3 定理8.3の証明
あとがき
参考文献
索 引
1.1 最初の例標本相関係数の分散安定化変換
1.2 本書の構成
第2章 情報理論の基礎
2.1 データ圧縮の例
2.2 符号化
2.3 エントロピー
2.4 統計学と情報理論の関係
2.5 カルバック・ライブラー(KL)情報量の性質
2.6 補足
2.6.1 ハフマン符号
2.6.2 定理2.2の証明
2.6.3 凸性と下半連続性
2.6.4 KL情報量の凸性と下半連続性の証明
2.6.5 一般の集合上のKL情報量
第3章 多様体の基礎
3.1 多様体の定義
3.2 記号の約束
3.3 接ベクトル
3.4 テンソル，特にリーマン計量
3.5 体積要素
3.6 双曲平面
3.7 接続
3.7.1 ユークリッド空間から導かれる接続
3.7.2 一般の多様体における接続
3.8 ラプラシアン
3.9 曲率
3.10 埋め込みと沈め込み
3.11 補足
3.11.1 陰関数定理
3.11.2 定理3.1の証明
3.11.3 積分可能条件
3.11.4 曲率に関する補題と定理の証明
第4章 統計的推測の基礎
4.1 統計モデル
4.2 統計モデルの正則性
4.3 確率変数，期待値，独立性
4.4 フィッシャー情報量
4.5 クラメール・ラオの不等式
4.6 最尤推定量
4.7 最尤推定量の漸近的性質
4.7.1 一致性
4.7.2 漸近正規性
4.8 補足
4.8.1 確率論における極限定理
4.8.2 一般の集合上の統計モデル
第5章 フィッシャー計量
5.1 有限集合上の統計モデル多様体
5.2 フィッシャー計量
5.3 1変量正規分布モデルのフィッシャー計量
5.4 分散安定化変換
5.5 2変量正規分布モデルのフィッシャー計量
第6章 双対接続
6.1 指数型分布族
6.2 ポテンシャル関数の性質
6.3 曲指数型分布族
6.4 双対接続
6.5 2変量正規分布モデルの双対接続
6.6 双対接続に関する曲率
6.7 混合パラメータ化
6.8 補足
6.8.1 分解定理
6.8.2 定理6.2の証明
第7章 推定量の高次漸近有効性
7.1 推定量の良さをどう測るか
7.2 モデルと推定量に対する仮定
7.3 推定多様体
7.4 1次漸近有効性
7.5 2次漸近有効性
7.6 フィッシャーのz変換の標準誤差
7.7 補足
7.7.1 ラオ・ブラックウェルの定理
7.7.2 補題7.1の証明
7.7.3 一様可積分性
第8章 ベイズ予測
8.1 統計的予測
8.2 予測分布の良さをどう測るか
8.3 モデルと予測分布に対する仮定
8.4 1次の漸近理論
8.5 2次の漸近理論
8.6 事前分布の比較
8.7 補足
8.7.1 ラプラス法
8.7.2 定理8.2の証明
8.7.3 定理8.3の証明
あとがき
参考文献
索 引
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