- 発売日：2026/07/10
- 出版社：共立出版
- ISBN：9784320116894
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モジュラー形式と保型表現入門
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商品説明
モジュラー形式と保型表現論の基礎を解説。解析・整数論・表現論が交差する世界への入口となる一冊。
ゼータ関数やL関数は整数論に関する豊かな情報を内包しており、それらの解析接続性や関数等式を示すために、モジュラー形式や保型表現の理論が本質的な役割を果たす。実際、フェルマーの最終定理は、楕円曲線とモジュラー形式の深い関係を与える谷山–志村予想を部分的に解くことで解決された。
本書ではモジュラー形式と保型表現論の最も基本的な事項を解説する。通例とは逆に、先にSL2(ℝ)の保型形式論を展開したあとで、そこからモジュラー形式論を復元するという話の流れをとる。
前半ではコンパクトアーベル群の表現論を概説した後、実特殊線型群上の保型形式を定義し、その特殊な場合として、正則モジュラー形式が自然に現れることを見る。この観点から、モジュラー形式は実特殊線型群の表現論を通して調べられる。
後半ではp進体上の一般線型群の表現論を展開し、保型形式をアデール環上の一般線型群に持ち上げることで、モジュラー形式の空間にヘッケ環の作用が入ることを見る。最後にホィッタッカー模型について解説し、そこから重複度一定理やヘッケ同時固有形式のフーリエ係数の関係式などの古典的な結果に対する表現論的な証明を与える。
ゼータ関数やL関数は整数論に関する豊かな情報を内包しており、それらの解析接続性や関数等式を示すために、モジュラー形式や保型表現の理論が本質的な役割を果たす。実際、フェルマーの最終定理は、楕円曲線とモジュラー形式の深い関係を与える谷山–志村予想を部分的に解くことで解決された。
本書ではモジュラー形式と保型表現論の最も基本的な事項を解説する。通例とは逆に、先にSL2(ℝ)の保型形式論を展開したあとで、そこからモジュラー形式論を復元するという話の流れをとる。
前半ではコンパクトアーベル群の表現論を概説した後、実特殊線型群上の保型形式を定義し、その特殊な場合として、正則モジュラー形式が自然に現れることを見る。この観点から、モジュラー形式は実特殊線型群の表現論を通して調べられる。
後半ではp進体上の一般線型群の表現論を展開し、保型形式をアデール環上の一般線型群に持ち上げることで、モジュラー形式の空間にヘッケ環の作用が入ることを見る。最後にホィッタッカー模型について解説し、そこから重複度一定理やヘッケ同時固有形式のフーリエ係数の関係式などの古典的な結果に対する表現論的な証明を与える。
目次
1章 位相群とユニタリー表現
1.1 位相群
1.2 指標
1.3 ハール測度
1.4 ユニタリー表現
1.5 コンパクト群の表現論
1.6 古典的なフーリエ展開
2章 SL2(ℤ) \ SL2(ℝ)上の関数
2.1 SL2(ℝ)の部分群
2.2 SL2(ℤ) \ SL2(ℝ)の測度
2.3 アイゼンシュタイン級数とポアンカレ級数
2.4 行列の指数関数
2.5 リー環と不変微分
2.6 保型形式
3章 モジュラー形式
3.1 上半平面と保型因子
3.2 モジュラー形式
3.3 具体例
3.4 カスプ形式の性質
column 1 モジュラーj 関数と重さ2の正則アイゼンシュタイン級数
4章 SL2(ℝ)の表現論
4.1 ユニタリー表現と(𝔤ℂ,K)加群
4.2 離散系列表現と有限次元表現
4.3 普遍包絡環とその中心
4.4 離散系列表現を含むユニタリー表現
4.5 モジュラー形式の表現論的解釈
4.6 二乗可積分関数の増大度
column 2 マース形式とジーゲルモジュラー形式
5章 GL2(ℚp)の表現論
5.1 付値とp進数体
5.2 GL2(ℚp)の構造
5.3 スムース表現とヘッケ環
5.4 不分岐表現と佐武同型
6章 GL2(𝔸)の表現論
6.1 アデール環
6.2 GL2(𝔸)の構造
6.3 GL2(𝔸)上の保型形式と保型表現
6.4 古典的なヘッケ作用素
6.5 モジュラー形式に伴う保型表現
column 3 保型形式の構成
7章 ホィッタッカー模型とL関数
7.1 ホィッタッカー模型の一意性：GL2(ℝ)の離散系列表現の場合
7.2 ホィッタッカー模型の一意性：GL2(ℚp)の不分岐表現の場合
7.3 重複度一定理
7.4 モジュラー形式論への翻訳
7.5 保型形式の周期とL関数
7.6 L関数のオイラー表示
column 4 随伴L関数とピーターソン内積
column 5 ガン-グロス-プラサド予想と市野-池田予想
1.1 位相群
1.2 指標
1.3 ハール測度
1.4 ユニタリー表現
1.5 コンパクト群の表現論
1.6 古典的なフーリエ展開
2章 SL2(ℤ) \ SL2(ℝ)上の関数
2.1 SL2(ℝ)の部分群
2.2 SL2(ℤ) \ SL2(ℝ)の測度
2.3 アイゼンシュタイン級数とポアンカレ級数
2.4 行列の指数関数
2.5 リー環と不変微分
2.6 保型形式
3章 モジュラー形式
3.1 上半平面と保型因子
3.2 モジュラー形式
3.3 具体例
3.4 カスプ形式の性質
column 1 モジュラーj 関数と重さ2の正則アイゼンシュタイン級数
4章 SL2(ℝ)の表現論
4.1 ユニタリー表現と(𝔤ℂ,K)加群
4.2 離散系列表現と有限次元表現
4.3 普遍包絡環とその中心
4.4 離散系列表現を含むユニタリー表現
4.5 モジュラー形式の表現論的解釈
4.6 二乗可積分関数の増大度
column 2 マース形式とジーゲルモジュラー形式
5章 GL2(ℚp)の表現論
5.1 付値とp進数体
5.2 GL2(ℚp)の構造
5.3 スムース表現とヘッケ環
5.4 不分岐表現と佐武同型
6章 GL2(𝔸)の表現論
6.1 アデール環
6.2 GL2(𝔸)の構造
6.3 GL2(𝔸)上の保型形式と保型表現
6.4 古典的なヘッケ作用素
6.5 モジュラー形式に伴う保型表現
column 3 保型形式の構成
7章 ホィッタッカー模型とL関数
7.1 ホィッタッカー模型の一意性：GL2(ℝ)の離散系列表現の場合
7.2 ホィッタッカー模型の一意性：GL2(ℚp)の不分岐表現の場合
7.3 重複度一定理
7.4 モジュラー形式論への翻訳
7.5 保型形式の周期とL関数
7.6 L関数のオイラー表示
column 4 随伴L関数とピーターソン内積
column 5 ガン-グロス-プラサド予想と市野-池田予想
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