平面や空間におけるベクトルの復習から始め、ベクトル空間に内積を取り入れることで長さや角度が表せることをみる。こうして得られる計量ベクトル空間において正規直交基底が構成できる。また、空間において形を変えない変換すなわち合同変換を解説し、その行列表示として直交行列を学ぶ。次に、ベクトルや行列の成分を複素数とすることで複素ベクトル空間を考える。対称行列に基底の変換を施し、行列が対角化できるための条件や特徴付けを考える。最後に、２次曲面を行列を用いて表し、２次曲面を標準形と呼ばれる形に変形し分類する。