本書は、わが国における函数論の先駆的著作として大正15年（1926年）に刊行された。理論の厳密さ、着想の独自性、表現の正確さにより定評を得た著書であり、函数論を学ぶ現代の方々にとっても一読する価値のある古典的名著といえよう。上巻では１価の複素函数論を、下巻では多価函数、楕円函数、等角写像を解説する。
　上巻の新版は、昭和41年（1966年）に著者のご子息・竹内端夫氏が、内容はそのままに、現代的な表現に改めたものである。2015年に、オンデマンド出版書籍（POD版）として復刊（ISBN 978-4-7853-0625-0）。